Modul Pembelajaran

Modul OSN: Ketaksamaan Rataan

Mengapa keseimbangan menghasilkan nilai maksimal? Pelajari prinsip AM-GM untuk mencari nilai ekstrim dalam berbagai persoalan olimpiade.

Modul 01: Aljabar

Prinsip Keseimbangan Optimal.

Mengapa kotak persegi selalu memiliki luas lebih besar dibanding persegi panjang dengan keliling yang sama? Itulah inti dari AM-GM: Keseimbangan menghasilkan nilai maksimal.

Definisi Formal

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}

Filosofi "Kotak Sempurna"

Bayangkan Anda memiliki kawat sepanjang 20 meter untuk memagari area parkir bengkel. Apakah bentuk memanjang atau kotak yang paling luas? Geser slider untuk membuktikan logika AM-GM.

Sisi A: 5m Sisi B: 5m

Luas Total: 25 m²

*Luas mencapai puncak (Titik Optimal) saat Sisi A = Sisi B (Keseimbangan).

Latihan Terbimbing

Masalah 1

Jika x + y = 10, tentukan nilai maksimum dari xy.

Masalah 2

Tentukan nilai minimum dari a + 1/a untuk a > 0.

Hirarki Rataan (Means Hierarchy)

Dalam OSN, kita seringkali membutuhkan lebih dari sekadar AM-GM. Urutan hukum alam ini berlaku untuk semua bilangan real positif: $QM \geq AM \geq GM \geq HM$ .

Input Data (Pisahkan koma)

Uji Ketaksamaan

Input A

Input B

AM (Hitung) 5.00

GM (Ukur) 5.00

AM = GM (Titik Optimal)

Latihan Terbimbing

Masalah 1

Jika x > 0, tentukan nilai minimum dari x² + 2/x.

Latihan Mandiri

Pertanyaan Mandiri

Seorang desainer ingin membuat layout halaman dengan luas total 200 cm². Margin kiri-kanan adalah 2 cm, sedangkan margin atas-bawah adalah 1 cm. Tentukan LEBAR halaman (cm) agar area cetak di tengah menjadi MAKSIMAL.

Pertanyaan Mandiri

Berapakah nilai minimum dari x + 1/x untuk x > 0?

Zettelkasten: Kartu Ingatan

Total: 3 Cards

Syarat Mutlak

Variabel

a, b, c, \dots

harus bernilai positif. Jangan gunakan pada bilangan negatif!

Kapan Digunakan?

Saat soal menanyakan nilai minimum dari sebuah penjumlahan atau nilai maksimum dari perkalian.

The Power of One

Kesamaan (

AM = GM

) hanya terjadi jika dan hanya jika

a = b = c = \dots = n